Длины дуг, стрелки, длины хорд, площади сегментов при
радиусе, равном единице
|
При пользовании таблицей при радиусах, не равных единице, следует умножить l, При данной длине дуги l и стрелке h находим r = l: l0, где l0 — длина дуги, |
длина хорды c = 2r sin a/2 = 2 √(2rh -h2)
стрелка h = r (1 — cos a/2) = c/2 tg a/4 = 2r sin2 a/2 = r — √(r2 — c2/4)
длина дуги l = pr a/1800 = 0,017453 ra » √(c2 + 16h2/3 )
площадь сегмента = (r2( pa0/1800 — sin a))/2
Центральный угол в градусах |
Длина дуги l0 |
Стрелка h |
l/h |
Длина хорды с |
Площадь сегмента |
1 |
0,0175 |
0,0000 |
458,36 |
0,0175 |
0,00000 |
2 |
0,0349 |
0,0002 |
229,19 |
0,0349 |
0,00000 |
3 |
0,0524 |
0,0003 |
152,79 |
0,0524 |
0,00001 |
4 |
0,0698 |
0,0006 |
114,60 |
0,0698 |
0,00003 |
5 |
0,0873 |
0,0010 |
91,69 |
0,0872 |
0,00006 |
6 |
0,1047 |
0,0014 |
76,41 |
0,1047 |
0,00010 |
7 |
0,1222 |
0,0019 |
64,01 |
0,1221 |
0,00015 |
8 |
0,1396 |
0,0024 |
56.01 |
0,1395 |
0,00023 |
9 |
0.1571 |
0,0031 |
50,96 |
0,1569 |
0,00032 |
10 |
0,1749 |
0,0038 |
45,87 |
0,1743 |
0,00044 |
11 |
0,1920 |
0,0046 |
41.70 |
0,1917 |
0,00059 |
12 |
0,2094 |
0,0055 |
38,23 |
0,2091 |
0,00076 |
13 |
0,2269 |
0,0064 |
35,28 |
0,2264 |
0,00097 |
14 |
0,2443 |
0,0075 |
32,78 |
0,2437 |
0,00121 |
15 |
0,2618 |
0,0086 |
30,60 |
0,2611 |
0,00149 |
16 |
0,2793 |
0,0097 |
28.04 |
0,2783 |
0,00181 |
17 |
0,2967 |
0,0110 |
27,01 |
0,2956 |
0,00217 |
18 |
0,3142 |
0,0123 |
25,35 |
0,3219 |
0,00257 |
19 |
0,3316 |
0,0137 |
24,17 |
0,3301 |
0,00302 |
20 |
0,3491 |
0,0152 |
22,98 |
0,3473 |
0,00352 |
21 |
0,3665 |
0,0167 |
21,95 |
0,3645 |
0,00408 |
22 |
0,3840 |
0,0184 |
20,90 |
0,3816 |
0,00468 |
23 |
0,4014 |
0,0201 |
20,00 |
0,3987 |
0,00535 |
24 |
0,4189 |
0,0219 |
19,17 |
0,4158 |
0,00607 |
25 |
0,4363 |
0,0237 |
18,47 |
0,4329 |
0,00686 |
26 |
0,4538 |
0,0256 |
17,71 |
0,4499 |
0,00771 |
27 |
0,4712 |
0,0276 |
17,06 |
0,4669 |
0,00862 |
28 |
0,4887 |
0,0297 |
16,45 |
0,4838 |
0.00961 |
29 |
0,5061 |
0,0319 |
15,89 |
0,5008 |
0,01087 |
30 |
0,5236 |
0,0341 |
15,37 |
0,5176 |
0,01180 |
31 |
0,5411 |
0.0364 |
14,88 |
0,5345 |
0,01301 |
32 |
0,5585 |
0,0387 |
14,42 |
0,5513 |
0.01429 |
33 |
0,5760 |
0,0412 |
13,99 |
0,5680 |
0,01566 |
34 |
0,5934 |
0,0437 |
13.58 |
0,5847 |
0,01711 |
35 |
0,6109 |
0,0463 |
13,20 |
0,6014 |
0,01864 |
36 |
0,6283 |
0,0489 |
12,84 |
0,6180 |
0,02027 |
37 |
0,6458 |
0,0517 |
12,50 |
0,6346 |
0,02198 |
38 |
0,6632 |
0,0545 |
12,17 |
0,6511 |
0,02378 |
39 |
0,6807 |
0,0574 |
11,87 |
0,6676 |
0,02568 |
40 |
0,6981 |
0,0603 |
11,58 |
0,6840 |
0,02767 |
41 |
0,7156 |
0,0633 |
11,30 |
0,7004 |
0,02976 |
42 |
0,7330 |
0,0664 |
11,04 |
0.7167 |
0,03195 |
43 |
0,7505 |
0,0696 |
10,78 |
0,7330 |
0,03425 |
44 |
0,7679 |
0,0728 |
10,55 |
0,7492 |
0,03664 |
45 |
0,7854 |
0,0761 |
10,32 |
0,7654 |
0,03915 |
46 |
0,8029 |
0,0795 |
10,10 |
0,7815 |
0,04176 |
47 |
0,8203 |
0,0829 |
9.80 |
0,7975 |
0,04448 |
48 |
0,8378 |
0,0865 |
9,69 |
0,8135 |
0,04731 |
49 |
0,8552 |
0,0900 |
9,50 |
0,8294 |
0,05025 |
50 |
0,8727 |
0,0937 |
9,31 |
0,8452 |
0,05331 |
51 |
0,8901 |
0,0974 |
9,14 |
0,8610 |
0,05649 |
52 |
0,9076 |
0,1012 |
8,97 |
0,8767 |
0,05978 |
53 |
0,9250 |
0,1051 |
8,80 |
0,8924 |
0,06319 |
54 |
0,9425 |
0,1090 |
8,65 |
0,9080 |
0,06673 |
55 |
0,9599 |
0,1130 |
8,49 |
0,9235 |
0,07039 |
56 |
0,9774 |
0,1171 |
8,35 |
0,9389 |
0,07417 |
57 |
0,9948 |
0,1212 |
8,21 |
0,9543 |
0,07808 |
58 |
1,0123 |
0,1254 |
8,07 |
0,9696 |
0,08212 |
59 |
1,0297 |
0,1296 |
7,94 |
0,9848 |
0,08629 |
60 |
1,0472 |
0,1340 |
7,81 |
1.0000 |
0,09059 |
61 |
1,0647 |
0,1384 |
7,69 |
1,0151 |
0,09502 |
62 |
1,0821 |
0,1428 |
7,56 |
1,0301 |
0,09958 |
63 |
1,0996 |
0,1474 |
7,46 |
1,0450 |
0,10428 |
64 |
1,1170 |
0,1520 |
7,35 |
1,0598 |
0,10911 |
65 |
1,1345 |
0,1566 |
7,24 |
1,0746 |
0,11408 |
66 |
1,1519 |
0,1613 |
7,14 |
1.0893 |
0,11919 |
67 |
1,1694 |
0,1661 |
7,04 |
1,1039 |
0,12443 |
68 |
1,1868 |
0,1710 |
6,94 |
1,1184 |
0,12982 |
69 |
1,2043 |
0,1759 |
6,85 |
1,1328 |
0,13535 |
70 |
1,2217 |
0,1808 |
6,76 |
1,1472 |
0,14102 |
71 |
1,2392 |
0,1859 |
6,67 |
1,1614 |
0,14683 |
72 |
1,2566 |
0,1910 |
6,58 |
1,1756 |
0,15270 |
73 |
1,2741 |
0,1961 |
6,50 |
1,1896 |
0,15889 |
74 |
1,2915 |
0,2014 |
6,41 |
1,2036 |
0,15514 |
75 |
1,3090 |
0,2066 |
6,34 |
1,2175 |
0,17154 |
76 |
1,3265 |
0,2120 |
6,26 |
1,2312 |
0,17808 |
77 |
1,3439 |
0,2174 |
6,18 |
1,2450 |
0,18477 |
78 |
1,3614 |
0,2229 |
6,11 |
1,2586 |
0,19160 |
79 |
1,3788 |
0,2284 |
6,04 |
1,2722 |
0,19859 |
80 |
1,3963 |
0,2340 |
5,97 |
1,2856 |
0,20573 |
81 |
1,4137 |
0,2396 |
5,90 |
1,2989 |
0,21301 |
82 |
1,4312 |
0,2453 |
5,83 |
1,3121 |
0,22045 |
83 |
1,4486 |
0,2510 |
5,77 |
1,3252 |
0,22804 |
84 |
1,4661 |
0,2569 |
5,71 |
1,3383 |
0,23578 |
85 |
1,4835 |
0,2627 |
5,65 |
1,3512 |
0,24367 |
86 |
1,5010 |
0,2686 |
5,59 |
1,3640 |
0,25171 |
87 |
1,5184 |
0,2746 |
5,53 |
1,3767 |
0,25990 |
88 |
1,5359 |
0,2807 |
5,47 |
1,3893 |
0,26825 |
89 |
1,5533 |
0,2867 |
5,42 |
1,4018 |
0,27675 |
90 |
1,5708 |
0,2929 |
5,36 |
1,4142 |
0,28540 |
91 |
1,5882 |
0,2991 |
5,31 |
1,4265 |
0,29420 |
92 |
1,6057 |
0,3053 |
5,26 |
1,4387 |
0,30316 |
93 |
1,6232 |
0,3116 |
5,21 |
1,4507 |
0,31226 |
94 |
1,6406 |
0,3180 |
5,16 |
1,4627 |
0,32152 |
95 |
1,6580 |
0,3244 |
5,11 |
1,4746 |
0,33093 |
96 |
1,6755 |
0,3309 |
5,06 |
1,4863 |
0,34050 |
97 |
1,6930 |
0,3374 |
5,02 |
1,4979 |
0,35021 |
98 |
1,7104 |
0,3439 |
4,97 |
1,5094 |
0,36008 |
99 |
1,7279 |
0,3506 |
4,93 |
1,5208 |
0,37009 |
100 |
1,7453 |
0,3572 |
4,89 |
1,5321 |
0,38026 |
101 |
1,7628 |
0,3639 |
4,84 |
1,5432 |
0,39050 |
102 |
1,7802 |
0,3707 |
4,80 |
1,5543 |
0,40104 |
103 |
1,7977 |
0,3775 |
4,76 |
1,5652 |
0,41166 |
104 |
1,8151 |
0,3843 |
4,72 |
1,5760 |
0,42242 |
105 |
1,8326 |
0,3912 |
4,68 |
1,5867 |
0,43333 |
106 |
1,8500 |
0,3982 |
4,65 |
1,5973 |
0,44439 |
107 |
1,8675 |
0,4052 |
4,61 |
1,6077 |
0,45560 |
108 |
1,8850 |
0.4122 |
4,57 |
1,6180 |
0,46695 |
109 |
1,9024 |
0,4193 |
4,54 |
1,6282 |
0,47845 |
110 |
1.9199 |
0,4264 |
4,50 |
1,6383 |
0,49008 |
111 |
1,9373 |
0,4336 |
4,47 |
1,6483 |
0,50187 |
112 |
1,9548 |
0,4408 |
4,43 |
1,6581 |
0,51379 |
113 |
1,9722 |
0,4481 |
4,40 |
1,6678 |
0,52586 |
114 |
1,9897 |
0,4554 |
4,37 |
1,6773 |
0,53807 |
115 |
2,0071 |
0,4627 |
4,34 |
1,6868 |
0,55041 |
116 |
2,0246 |
0,4701 |
4,31 |
1,6961 |
0,56289 |
117 |
2,0420 |
0,4775 |
4,28 |
1,7053 |
0,57551 |
118 |
2,0595 |
0,4850 |
4,25 |
1,7143 |
0,58827 |
119 |
2,0769 |
0,4925 |
4,22 |
1,7233 |
0,60116 |
120 |
2,0944 |
0,5000 |
4,19 |
1,7321 |
0,61418 |
121 |
2,1118 |
0,5076 |
4,16 |
1,7407 |
0,62734 |
122 |
2,1293 |
0,5152 |
4,13 |
1,7492 |
0,64063 |
123 |
2,1468 |
0,5228 |
4,11 |
1,7576 |
0,65404 |
124 |
2,1642 |
0,5305 |
4,08 |
1,7659 |
0,66759 |
125 |
2,1817 |
0,5387 |
4,05 |
1,7740 |
0,68125 |
126 |
2,1991 |
0,5460 |
4,03 |
1,7820 |
0,69505 |
127 |
2,2166 |
0,5538 |
4,00 |
1,7899 |
0,70897 |
128 |
2,2340 |
0,5616 |
3,98 |
1,7976 |
0,72301 |
129 |
2,2515 |
0,5695 |
3,95 |
1,8052 |
0,73716 |
130 |
2,2689 |
0,5774 |
3,93 |
1,8126 |
0,75144 |
131 |
2,2864 |
0,5853 |
3,91 |
1,8199 |
0,76584 |
132 |
2,3038 |
0,5933 |
3,88 |
1,8277 |
0,78034 |
133 |
2,3213 |
0,6013 |
3,86 |
1,8341 |
0,79497 |
134 |
2,3387 |
0,6093 |
3,84 |
1.8410 |
0,80970 |
135 |
2,3562 |
0,6173 |
3,82 |
1,8478 |
0,82454 |
136 |
2,3736 |
0,6254 |
3,80 |
1,8545 |
0,83949 |
137 |
2,3911 |
0,6335 |
3,77 |
1,8608 |
0,85455 |
138 |
2,4086 |
0,6416 |
3,75 |
1,8672 |
0,86971 |
139 |
2,4260 |
0,6498 |
3,73 |
1,8733 |
0,88497 |
140 |
2,4435 |
0,6580 |
3,71 |
1,8794 |
0,90034 |
141 |
2,4609 |
0,6662 |
3,69 |
1,8853 |
0,91580 |
142 |
2,4784 |
0,6744 |
3,67 |
1,8910 |
0,93135 |
143 |
2,4958 |
0,6827 |
3,66 |
1,8966 |
0,94700 |
144 |
2,5133 |
0,6910 |
3,64 |
1,9021 |
0,96274 |
145 |
2,5307 |
0,6993 |
3,62 |
1,9074 |
0,97858 |
146 |
2,5482 |
0,7076 |
3,60 |
1,9126 |
0,99449 |
147 |
2,5656 |
0,7160 |
3,58 |
1,9176 |
1,01050 |
148 |
2,5831 |
0,7244 |
3,57 |
1,9225 |
1,02658 |
149 |
2,6005 |
0,7328 |
3,55 |
1,9273 |
1,04275 |
150 |
2,6180 |
0,7412 |
3,53 |
1,9319 |
1.05900 |
151 |
2,6354 |
0,7496 |
3,52 |
1,9363 |
1,07532 |
152 |
2,6529 |
0,7581 |
3,50 |
1,9406 |
1,09171 |
153 |
2,6704 |
0,7666 |
3,48 |
1,9447 |
1,10818 |
154 |
2,6878 |
0,7750 |
3,47 |
1,9487 |
1,12472 |
155 |
2,7053 |
0,7836 |
3.45 |
1,9526 |
1,14132 |
156 |
2,7227 |
0,7921 |
3,44 |
1,9563 |
1,15799 |
157 |
2,7402 |
0,8006 |
3,42 |
1,9598 |
1,17472 |
158 |
2,7576 |
0,8092 |
3,41 |
1,9633 |
1,19151 |
159 |
2,7751 |
0,8178 |
3,39 |
1,9665 |
1,20835 |
160 |
2,7925 |
0,8264 |
3,38 |
1,9696 |
1,22525 |
161 |
2,8100 |
0,8350 |
3,37 |
1,9726 |
1,24221 |
162 |
2,8274 |
0,8436 |
3,35 |
1,9754 |
1,25921 |
163 |
2,8449 |
0,8522 |
3,34 |
1,9780 |
1,27626 |
164 |
2,8623 |
0,8608 |
3,33 |
1,9805 |
1,29335 |
165 |
2,8798 |
0,8695 |
3,31 |
1,9829 |
1,31049 |
166 |
2,8972 |
0,8781 |
3,30 |
1,9851 |
1,32766 |
167 |
2,9147 |
0,8868 |
3,28 |
1,9871 |
1,34487 |
168 |
2,9322 |
0,8955 |
3,27 |
1,9890 |
1,36212 |
169 |
2,9496 |
0,9042 |
3,26 |
1,9908 |
1,37940 |
170 |
2,9671 |
0,9128 |
3,25 |
1,9924 |
1,39671 |
171 |
2,9845 |
0,9215 |
3,24 |
1,9938 |
1,41404 |
172 |
3,0020 |
0,9302 |
3,23 |
1,9951 |
1,43140 |
173 |
3,0194 |
0,9390 |
3,22 |
1,9963 |
1,44878 |
174 |
3,0369 |
0,9477 |
3,20 |
1,9973 |
1,46617 |
175 |
3,0543 |
0,9564 |
3,19 |
1,9981 |
1,48359 |
176 |
3,0718 |
0,9651 |
3,18 |
1,9988 |
1,50101 |
177 |
3,0892 |
0,9738 |
3,17 |
1,9993 |
1,51845 |
178 |
3,1067 |
0,9825 |
3,16 |
1,9997 |
1,53589 |
179 |
3,1241 |
0,9913 |
3,15 |
1,9999 |
1,55334 |
180 |
3,1416 |
1,0000 |
3,14 |
2,0000 |
1,57080 |
Пример 1. Вычислить радиус окружности, у которой при стрелке h = 2 мм длина дуги l
= 10 мм. Находим. Из таблицы определяем l0 = 1,6930, так
согласно указанию в табл. 6
Пример 2. Вычислить стрелку h дуги окружности радиусом г = 50 мм при центральном угле а =30°. Из таблицы находим h = 0,0341 · 50 = 1,705 мм.
7.Вычисление элементов плоских фигур
Обозначенияв формулах:
F — площадь; Р — полупериметр;
L — длина окружности; l — длина дуги; n — число сторон
многоугольника; R — радиус описанной окружности; r — радиус
вписанной окружности; О — центр тяжести; p — радиус кривизны; у0
и x0 — величины, определяющие положение центра тяжести.
Квадрат
|
F= b2 = d2/2; b = d = 1,414 √F = 1,414b o — в точке пересечения диагоналей y0 = b/2 y01=(b√2) /2
|
Прямоугольник |
F = ab = a√(b2 — a2) = b√(d2— b2) d = √(a2+ b2); a = √(d2 — b2) =F/b; b = √(d2 — a2) = F/a o — в точке пересечения диагоналей y0 = b/2 |
Параллелограмм
|
F =ab; a = F/b; b = F/a o — в точке пересечения диагоналей y0 = a/2 |
Треугольник |
F = bh /2 = b√(a2 — ((b2 + P = (a + b +c)/2 тогда F = √ (P(P — a)(P — b)(P — c)) o — в точке пересечения медиан y0 = h/3; AB1 = B1C; |
Трапеция |
F = (a + b)h / 2
y0 = (h(2b + a)) / (3(a + b))
|
Шестиугольник
|
F = 2,598c2 = 2,598R2 = 3,464r2 R = c =1,155r
r = 866c = 0,866R
o — в геометрическом центре y0 = 0,866R y01= R |
Правильный многоугольник
|
a = 3600 / n; F = ncr /2= nc√(R2 — c2/4) R = √(r2— c2/4); r = √(R2 — c2/4); c = 2√(R2 o — в геометрическом центре y0 = 0,924R для восьмиугольника F = 2,828R2; r = 0,924R; c = 0,765R |
Круг |
x2 + y2 = r2; F = pr2 = 3,1416 r2=0,7854 d2 L = 2pr = 6,2832r = 3,1416d r = L : 6,2832 = √ (F:3,1416) = 0,564√F d = L : о — центр круга y0 = к |
Полукруг
|
F = pr2/2 =1,5078 r2 =0,3927 d2 y0 = 4r/3p = 0,4244 r
|
Сектор
|
l = (ra . 3,1416) / 1800 =0,01745ra = 2F/r F = rl/2 = 0,008727 ar2; a = 57,296l / r r = 2F/l = 57,296l / a; y0 = 2rc/3l
|
Сегмент
|
c = 2√(h(2r r = (c2 + 4h2) / 8h; l = 0,0174ra h = r — (√(4r2 — c2))/2; a = 57,296l / r y0 = c3/12F
|
Кольцо
|
F = p (R2— r2)= 3,1416 (R2— r2) = 3,1416 (R + r)(R — r) = = 0,7854 (d2 -d12) = 0,7854 (d + d1)(d- d1) 0 — вгеометрическом центре y0 = R |
Кольцевой сектор
|
F = ap/3600 * (R2— r2)= 0,00873 (R2— r2) = = ap/3600 * (d2— d12)= 0,00218a(d2— d12) y0 = (76,394 (R3 — r3) sin a/2) / ((R2 — r2)a) |
Эллипс
|
F = pab = 3,1416ab Приближенная величина периметра 2P = 3,1416√(2(a2 + b2)) Более точная величина периметра 2P =3,1416√(2(a2 + b2) — (a — b)2/4) o — в точке пересечения осей y0 = b; OF = OF1 = √(a2+ b2); r1+r = 2a ордината F1M = b2/a радиус кривизны в точке P p = a2b2 (x2/a4 + y2/b4)3/2= ((rr1)3/2)/ab эксцентриситет e = √(a2 + b2)/a Длина всего эллипса l » p [3(a +b)/2 — √ab] |