Прямоугольные треугольники
Задано а,a Найти b,c,F |
b = a ctga c = a/sina F = (a2ctga)/2 |
Задано b,a Найти a,c,F |
b = b btga c = b/cosa F = (b2tga)/2 |
Задано с,a Найти a,b,F |
b = c sina c = c cosa F = (c2sina cosa)/2 == (c2sin2a)/4 |
Задано a,b Найти a,b,c,F |
tga = a/b; a = 900 — b tgb = b/a; b = 900 — a c = √(a2 + b2) = a/sina = a/cosa; F = (ab)/2 |
Задано a,c Найти a,b,b,F |
sina = a/c; a = 900 — b sinb = a/c; b = 900 — a c = √(c2 — a2) = √(c + a)(c — a) = c cosa = c sinb F = (a/2)√(c + a)(c — a) = (ac sinb) / 2 |
Косоугольные треугольники 1-й случай (общий)
Задано а,b,g Найти c,a,b,F |
c = √(a2 + b2-2ab cosg) sina = (a sing) / c tga = (a sing) / (b — a sing) sinb = (b sing) / c tgb = (b sing) / (a — b cosg) F = (ab sing)/2 |
Задано a,b,g или а,a,b Найти b,c,F |
a = 1800 — (b + g) b = 1800 — (a + g) g = 1800 — (a + b) b = (a sinb) / sina = (a sinb) / sin (b + g) c = (a sing) / sina = (a sing) / sin (b + g) F = (a2 sinbsing)/(2sina) = a2/(2(ctgb + ctgg)) |
2-й случай a > b (поэтому b острый); b < a (рис. 2).
Задано a,b,a Найти b,g,F |
c = asinb + bcosa = (a sing) / sin a = bcosa ± √(a2 — b2sin2a) sinb = asina / a cosb = ±√(1 — sin2b) g = 1800 — (a + b) F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2 |
3-й случай b > a. Треугольник не вполне определен, возможны два решения: b — 90°
Задано a,b,a Найти b,g,c,F |
sinb = bsina / a cosb = ±√(1 — sin2b) g = 1800 — (a + b) b c = b cosa ± √(a2 — b2sin2a) F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2 |
Выражение углов треугольника через стороны и полупериметр
Задано a, b, c
Найти a, b, g, F
Полупериметр P=(a+b+c)/2
cosa = ( b2+c2-a2)/2bc
sin (b/2) = √((P-a)(P-c)/ac)
cos (a/2) = √(P(P-a)/bc)
sinb = 2F/ac; cosg = (b2+c2-a2)/2ab
sin (a/2) = √((P-b)(P-c)/bc)
cos (g/2) = √(P(P-c)/ab)
sina = 2F/bc; cosb = (a2+c2-b2)/2ac
cos (g/2) = √((P-a)(P-b)/ab)
cos (b/2) = √(P(P-b)/ac)
sing = 2F / ac
F = √(P(P-a)(P-b)(P-c))
3. Правильный многоугольник
n — число сторон; c — сторона многоугольника; R — радиус описанного круга; r — радиус вписанного круга; F — площадь многоугольника |
c = 2Rsin | 1800 | = 2rtg | 1800 | ; R= | c | :sin | 1800 | =r:cos | 1800 |
n | n | 2 | n | n |
r= | c | ctg | 1800 | = Rcos | 1800 | ; F= | n | R2sin | 3600 | =nr2tg | 1800 | =n | c2 | ctg | 1800 |
2 | n | n | 2 | n | n | 4 | n |
n |
c |
R |
r |
F |
|||||
3 |
1,732R |
3,464r |
0,577c |
2,000r |
0,289c |
0.500r |
0,433c2 |
1,299R2 |
5,196r2 |
4 |
1,414R |
2,000r |
0,707c |
1,414r |
0,500c |
0,707r |
1,000c2 |
2.000R2 |
4,000r2 |
5 |
1,176R |
1,453r |
0,851c |
1,236r |
0,688c |
0.809r |
1,721c2 |
2,378R2 |
3,633r2 |
6 |
1,000R |
1,l55r |
1,000c |
1,155r |
0,866c |
0,866r |
2,598c2 |
2,598R2 |
3,464r2 |
7 |
0,868R |
0,963r |
1,152c |
1,110r |
1,038c |
0,901r |
3,635c2 |
2,736R2 |
3,371r2 |
8 |
0,765R |
0,828r |
1,307c |
1,082r |
1,207c |
0,924r |
4,828c2 |
2,828R2 |
3,314r2 |
9 |
0,684R |
0,728r |
1,462c |
1,064r |
1,374c |
0,940r |
6.182c2 |
2,893R2 |
3,276r2 |
10 |
0,618R |
0,650r |
1,618c |
1,052r |
1,539c |
0,951r |
7,694c2 |
2,939R2 |
3,249r2 |
11 |
0,564R |
0,587r |
1,775c |
1,042r |
1,703c |
0,960r |
9.364c2 |
2,974R2 |
3,230r2 |
12 |
0,518R |
0,536r |
1,932c |
1,035r |
1,866c |
0,966r |
11,196c2 |
3,000R2 |
3,215r2 |
16 |
0,390R |
0,398r |
2,563c |
1,020r |
2,514c |
0,981r |
20,109c2 |
3,0б2R2 |
3,183r2 |
20 |
0,313R |
0,317r |
3,196c |
1,013r |
3,157c |
0,988r |
31,569c2 |
3,090R2 |
3,1б8r2 |
24 |
0,261R |
0,263r |
3,831c |
1,009r |
3,798c |
0,991r |
45,575c2 |
3,10бR2 |
3,lб0r2 |
32 |
0,196R |
0,197r |
5,101c |
1,005r |
5,077c |
0,995r |
81,225c2 |
3,121R2 |
3,152r2 |
48 |
0,131R |
0,131r |
7,645c |
1,002r |
7,629c |
0,998r |
183,08c2 |
3,133R2 |
3,146r2 |
64 |
0,098R |
0,098r |
10,190c |
1,001r |
10,178c |
0,999r |
325,69c2 |
3,137R2 |
3,144r2 |